TRIGONOMETRIC FORMULA

 

1. Basic Trigonometric Ratios
For a right-angled triangle:
• sin θ = Opposite / Hypotenuse
• cos θ = Adjacent / Hypotenuse
• tan θ = Opposite / Adjacent
• cosec θ = 1 / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cot θ = 1 / tan θ
2. Pythagorean Identities
• sin²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = cosec²θ
3. Reciprocal Identities
• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ
4. Co-Function (Complementary Angle) Identities
• sin(90° - θ) = cos θ
• cos(90° - θ) = sin θ
• tan(90° - θ) = cot θ
• cot(90° - θ) = tan θ
• sec(90° - θ) = cosec θ
• cosec(90° - θ) = sec θ
5. Negative Angle Identities
• sin(-θ) = -sin θ
• cos(-θ) = cos θ
• tan(-θ) = -tan θ
• cot(-θ) = -cot θ
• sec(-θ) = sec θ
• cosec(-θ) = -cosec θ
6. Sum and Difference Formulas
• sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
• cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
• tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
7. Double Angle Formulas
• sin 2A = 2 sin A cos A
• cos 2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A
• tan 2A = 2 tan A / (1 - tan²A)
8. Half Angle Formulas
• sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]
• cos(A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]
• tan(A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]
9. Product to Sum Formulas
• sin A sin B = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B)]
• cos A cos B = 1/2 [cos(A + B) + cos(A - B)]
• sin A cos B = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)]
10. Sum to Product Formulas
• sin A + sin B = 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2]
• sin A - sin B = 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2]
• cos A + cos B = 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2]
• cos A - cos B = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2]
11. Inverse Trigonometric Identities
• sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹x
• cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹x
• tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹x
• sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2
• tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2
• sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2

Physics formula

 

1. Mechanics

• Kinematic Equations (for uniform acceleration):

  • $v = u + at$
    
  • $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
    
  • $v^2 = u^2 + 2as$
    
  • $s = \frac{(u+v)}{2}t$
    

• Newton’s Laws of Motion:

  • $F = ma$ (Newton’s Second Law)

• Work, Power, and Energy:

  • $W = F \cdot d \cos \theta$
    
  • $P = \frac{W}{t}$
  • $KE = \frac{1}{2}mv^2$
    
  • $PE = mgh$
    

• Momentum:

  • $p = mv$
    
  • $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$

• Circular Motion:

  • $a_c = \frac{v^2}{r}$
  • $F_c = \frac{mv^2}{r}$

2. Gravitation

• Newton’s Law of Universal Gravitation:
  • $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
• Gravitational Potential Energy:
  • $U = -G \frac{m_1 m_2}{r}$
• Escape Velocity:
  • $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

3. Fluid Mechanics

• Bernoulli’s Equation:
  • $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$
    
• Equation of Continuity:
  • $A_1 v_1 = A_2 v_2$

4. Thermodynamics

• First Law of Thermodynamics:
  • $\Delta Q = \Delta U + W$
    
• Ideal Gas Equation:
  • $PV = nRT$
    

5. Waves and Sound

• Wave Equation:
  • $v = f\lambda$
    
• Doppler Effect:
  • $f' = f \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$

6. Electricity and Magnetism

• Ohm’s Law:
  • $V = IR$
    
• Resistance in Series and Parallel:
  • $R_{\text{series}} = R_1 + R_2 + \dots$
    
  • $\frac{1}{R_{\text{parallel}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$
    
• Coulomb’s Law:
  • $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
• Magnetic Force on a Moving Charge:
  • $F = q v B \sin \theta$
    
• Faraday’s Law of Electromagnetic Induction:
  • $\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt}$

7. Modern Physics

• Photoelectric Equation (Einstein’s Equation):
  • $hf = W + KE_{\max}$
• de Broglie Wavelength:
  • $\lambda = \frac{h}{p}$
• Einstein’s Mass-Energy Equation:
  • $E = mc^2$
    

All Necessary Algebric formula

 

1. Basic Algebraic Identities

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
   
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
   
3. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
   
4. $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$
   
5. $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2(ab + bc - ca)$
   

2. Cubic Identities

1. $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
   
2. $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$
   
3. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
   
4. $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
   

3. Factorization Formulas

1. $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
2. $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$  ;where  $\alpha ,\mathrm{<span\; class="mspace"></span><span\; class="mord\; mathnormal">\beta \; are\; roots</span>}$

4. Quadratic Formula

For $ax^2 + bx + c = 0$:-

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

5. Logarithmic Identities

1. $\log(ab) = \log a + \log b$
   
2. $\log \left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$
   
3. $\log a^b = b \log a$
   

6. Exponential Laws

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
   
2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
   
3. $(a^m)^n = a^{mn}$
   
4. $(ab)^m = a^m b^m$
   

7. Sequence and Series

• Sum of Arithmetic Progression (AP): $$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$$
  
• Sum of Geometric Progression (GP): $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1$$
  

একটি প্রাচীন মানচিত্র

 

#  সংগৃহীত 

ভাষা সম্পর্কিত তথ্য

 

পৃথিবীর প্রাচীন ভাষাগুলোর মধ্যে কয়েকটি এখনও বিদ্যমান, আবার কিছু হারিয়ে গেছে। ভাষাবিদরা সাধারণত ভাষার প্রাচীনত্ব নির্ধারণ করেন তার লিখিত রেকর্ড, ব্যাকরণ ও শব্দভাণ্ডারের বিবর্তনের উপর ভিত্তি করে। নিচে পৃথিবীর কিছু প্রাচীন ভাষা সম্পর্কে সংক্ষেপে আলোচনা করা হলো:
১. সংস্কৃত (Sanskrit)
• ভারতীয় উপমহাদেশের অন্যতম প্রাচীন ভাষা।
• বৈদিক সংস্কৃতের বয়স আনুমানিক ৩৫০০ বছর (খ্রিস্টপূর্ব ১৫০০ সালের কাছাকাছি)।
• অনেক ভারতীয় ভাষার মূল উৎস এবং হিন্দু ধর্মগ্রন্থের ভাষা।
২. তামিল (Tamil)
• বিশ্বের প্রাচীনতম জীবিত ভাষাগুলোর একটি।
• আনুমানিক ২০০০-২৫০০ বছর ধরে ব্যবহৃত হয়ে আসছে।
• এখনও দক্ষিণ ভারতের তামিলনাড়ু ও শ্রীলঙ্কায় প্রচলিত।
৩. সুমেরীয় ভাষা (Sumerian)
• খ্রিস্টপূর্ব ৩১০০ সালের দিকে মেসোপটেমিয়ায় প্রচলিত ছিল।
• এটি বিশ্বের প্রথম লিখিত ভাষাগুলোর একটি (কিউনিফর্ম লিপিতে লেখা হতো)।
• প্রায় ২০০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দের পর বিলুপ্ত হয়ে যায়।
৪. মিশরীয় ভাষা (Egyptian)
• খ্রিস্টপূর্ব ২৬০০ সালের দিকে প্রথম লিপিবদ্ধ হয়।
• হায়ারোগ্লিফিক লিপিতে লেখা হতো।
• কপটিক ভাষা এর পরবর্তী রূপ, যা এখন প্রায় বিলুপ্ত।
৫. গ্রীক ভাষা (Greek)
• খ্রিস্টপূর্ব ১৪৫০ সালের দিকে মাইসেনিয়ান গ্রিক হিসেবে প্রথম দেখা যায়।
• এটি বিশ্বের অন্যতম পুরাতন জীবিত ভাষা।
• গ্রিক ভাষা দর্শন, গণিত ও বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে অনেক অবদান রেখেছে।
৬. ল্যাটিন ভাষা (Latin)
• প্রাচীন রোমান সাম্রাজ্যের ভাষা।
• যদিও এটি এখন কথ্য ভাষা হিসেবে ব্যবহৃত হয় না, তবে অনেক ইউরোপীয় ভাষার (যেমন, ফরাসি, স্প্যানিশ, ইতালিয়ান) মূল ভিত্তি।
৭. আরামাইক ভাষা (Aramaic)
• আনুমানিক ৩০০০ বছর ধরে ব্যবহৃত হয়ে আসছে।
• মধ্যপ্রাচ্যের বিভিন্ন অঞ্চলে ব্যবহৃত হতো এবং যীশু খ্রিস্টের ভাষা হিসেবে পরিচিত।

গণিতের বেসিক কিছু বিষয়(পরিমিতি)

 

শতক হাকিয়ে ক্যারিয়ার শুরু ব্রিটজকের

 

ক্যারিয়ারের প্রথম ওয়ানডে খেলতে নেমেই ইতিহাসের পাতায় ঠাঁই নিলেন ম্যাথু ব্রিটজকে। দক্ষিণ আফ্রিকার ব্যাটার ভেঙে দিলেন ৪৭ বছর ধরে টিকে থাকা কীর্তি। ৫০ ওভারের ক্রিকেটে অভিষেকে সর্বোচ্চ ব্যক্তিগত ইনিংসের রেকর্ড এখন তার দখলে।
সোমবার লাহোরের গাদ্দাফি স্টেডিয়ামে ত্রিদেশীয় সিরিজের ম্যাচে নিউজিল্যান্ডের বিপক্ষে ব্রিটজকে খেলেছেন ১৫০ রানের দুর্দান্ত ইনিংস। ১৪৮ বল মোকাবিলায় তার ব্যাট থেকে আসে ১১টি চার ও পাঁচটি ছক্কা। ৬৮ বলে ফিফটি স্পর্শের পর তিনি সেঞ্চুরিতে পৌঁছান ১২৮ বলে। এরপর গতি বাড়িয়ে দেড়শ ছুঁয়ে ফেলেন ১৪৭ বলে। পরের বলেই অবশ্য পেসার ম্যাট হেনরির শিকার হয়ে সাজঘরে ফেরেন তিনি।
বলা বাহুল্য, ওয়ানডে অভিষেকে দেড়শ রান করা প্রথম ব্যাটার ২৬ বছর বয়সী ব্রিটজকে। এই সংস্করণে প্রথম ম্যাচে ব্যক্তিগত সর্বোচ্চ ইনিংসের আগের রেকর্ড ছিল ডেসমন্ড হেইন্সের। ওয়েস্ট ইন্ডিজের কিংবদন্তি ১৯৭৮ সালের ফেব্রুয়ারিতে অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে করেছিলেন ১৪৮ রান।
কিউইদের বিপক্ষে এই ম্যাচে ব্রিটজকে একাদশে জায়গা পান মূলত প্রোটিয়াদের নিয়মিত তারকারা না থাকায়। ঘরোয়া ফ্র্যঞ্চাইজি আসর এসএ টি-টোয়েন্টি গত শনিবার শেষ হওয়ার পর এখনও লাহোরে দলের সঙ্গে যোগ দেওয়া হয়নি তাদের। সেই সুযোগ কাজে লাগিয়ে শুরুতেই নজর কেড়েছেন ব্রিটজকে।
দক্ষিণ আফ্রিকার চতুর্থ ও সব মিলিয়ে ১৯তম ক্রিকেটার হিসেবে ব্রিটজকে পেয়েছেন অভিষেক ওয়ানডেতে সেঞ্চুরি। ২০১০ সালে প্রথম প্রোটিয়া ব্যাটার হিসেবে ক্যারিয়ারের প্রথম ওয়ানডেতে সেঞ্চুরি করেছিলেন কলিন ইনগ্রাম। এরপর ২০১৬ সালে টেম্বা বাভুমা ও ২০১৮ সালে রিজা হেন্ড্রিকস যুক্ত হন তালিকায়।
ব্রিটজকের স্মরণীয় দিনে অবশ্য শেষ হাসি হাসতে পারেনি দক্ষিণ আফ্রিকা। টস হেরে আগে ব্যাটিংয়ে নেমে তাদের ছুড়ে দেওয়া ৩০৫ রানের লক্ষ্য ৬ উইকেট ও ৮ বল হাতে রেখে পেরিয়ে গেছে নিউজিল্যান্ড। টানা দুই জয়ে কিউইরা ঠাঁই করে নিয়েছে ত্রিদেশীয় সিরিজের ফাইনালে।

মুক্তিযুদ্ধের ১১ টি সেক্টর

 

গ্রীক দার্শনিক সক্রেটিস

 সক্রেটিস ছিলেন প্রাচীন গ্রিসের একজন বিখ্যাত দার্শনিক। তিনি এথেন্সে ৪৭০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে জন্মগ্রহণ করেন এবং ৩৯৯ খ্রিস্টপূর্বাব্দে মারা যান। সক্রেটিসের জীবন সম্পর্কে তেমন কিছু জানা যায় না, কারণ তিনি নিজে কিছুই লেখেননি। তার সম্পর্কে যা কিছু জানা যায় তা মূলত তার শিষ্য প্লেটো এবং জেনোফনের লেখা থেকে।

সক্রেটিস ছিলেন একজন অত্যন্ত জ্ঞানী এবং বুদ্ধিমান ব্যক্তি। তিনি সবসময় মানুষকে জ্ঞান এবং সত্যের সন্ধানে উৎসাহিত করতেন। তিনি বিশ্বাস করতেন যে জ্ঞানই সবচেয়ে বড় সম্পদ এবং এর মাধ্যমে মানুষ সুখী হতে পারে। সক্রেটিস কখনও কোনো নির্দিষ্ট বিষয়ে শিক্ষা দিতেন না, বরং তিনি বিভিন্ন প্রশ্ন এবং আলোচনার মাধ্যমে মানুষকে নিজেদের চিন্তা করতে এবং সত্য খুঁজে বের করতে সাহায্য করতেন। তার এই পদ্ধতিকে সক্রেটিক পদ্ধতি বলা হয়।

সক্রেটিস ছিলেন একজন বিতর্কিত ব্যক্তি। অনেক মানুষ তাকে পছন্দ করত, আবার অনেকে তাকে অপছন্দ করত। এথেন্সের কিছু মানুষ তাকে যুবকদের বিপথগামী করার অভিযোগে অভিযুক্ত করে এবং তার মৃত্যুদণ্ড দেয়। সক্রেটিস হেমলক বিষ পান করে মৃত্যুবরণ করেন।

সক্রেটিসের জীবন এবং শিক্ষা আজও মানুষকে অনুপ্রাণিত করে। তিনি জ্ঞান, সত্য এবং মানবতার প্রতি যে গুরুত্ব দিয়েছিলেন তা আজও অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক।

এখানে সক্রেটিসের কয়েকটি অজানা কথা উল্লেখ করা হলো:

১. সক্রেটিস ছিলেন একজন দরিদ্র পরিবারের সন্তান। তার বাবা ছিলেন একজন ভাস্কর এবং মা ছিলেন একজন ধাত্রী।

২. সক্রেটিস ছিলেন একজন কুৎসিত মানুষ। তার নাক ছিল থ্যাবড়া এবং চোখ ছিল ছোট।

৩. সক্রেটিস বিয়ে করেছিলেন কিন্তু তার স্ত্রীর নাম ছিল জানথিপি। তাদের তিন সন্তান ছিল।

৪. সক্রেটিস ছিলেন একজন মদ্যপায়ী। তিনি প্রায়ই মদ্যপান করতেন এবং মাতাল হয়ে রাস্তায় ঘুরে বেড়াতেন।

৫. সক্রেটিস ছিলেন একজন সাহসী মানুষ। তিনি মৃত্যুর আগে তার বন্ধুদের বলেছিলেন যে তিনি ভয় পান না, কারণ মৃত্যু একটি নতুন জীবনের শুরু।

৬. সক্রেটিস ছিলেন একজন ধার্মিক মানুষ। তিনি দেবতাদের বিশ্বাস করতেন এবং প্রায়ই তাদের পূজা করতেন।

৭. সক্রেটিস ছিলেন একজন দেশপ্রেমিক। তিনি এথেন্সের জন্য অনেক যুদ্ধ করেছিলেন।

৮. সক্রেটিস ছিলেন একজন দার্শনিক। তিনি বিশ্বাস করতেন যে দর্শনের মাধ্যমে মানুষ জীবনের অর্থ খুঁজে বের করতে পারে।

৯. সক্রেটিস ছিলেন একজন শিক্ষক। তিনি অনেক ছাত্রকে শিক্ষা দিয়েছিলেন, যাদের মধ্যে প্লেটো অন্যতম।

১০. সক্রেটিস ছিলেন একজন শহীদ। তিনি সত্যের জন্য জীবন উৎসর্গ করেছিলেন।

সক্রেটিসের জীবন এবং শিক্ষা সম্পর্কে আরও অনেক কিছু জানার আছে। তার সম্পর্কে আরও জানতে হলে প্লেটো এবং জেনোফনের লেখা পড়তে পারেন। এছাড়াও, সক্রেটিসের জীবন এবং দর্শন নিয়ে অনেক বই এবং প্রবন্ধ লেখা হয়েছে, সেগুলোও পড়তে পারেন।